Секция: Математика, математические модели экономических и социальных процессов

      Ханеня Евгения Ивановна 7 класс

МБОУ гимназия № 64 им. В.А. Котельникова,

МАОУ ДОД ЦРТДиЮ «Левобережный»,

 

 Научный руководитель: Блюмин С.Л.,

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры прикладной математики ЛГТУ

 

 

Опытная проверка «теории шести рукопожатий».

представление результатов графами и их матрицами

 

Введение

В работе рассматривается «теория шести рукопожатий» — теория, согласно которой любые два человека на Земле разделены в среднем лишь пятью уровнями общих знакомых (и, соответственно, шестью уровнями связей).

Теория была выдвинута в 1969 году американскими психологами Стэнли Милгрэмом и Джеффри Трэверсом. Предложенная ими гипотеза заключалась в том, что каждый  человек опосредованно знаком с любым другим жителем планеты через цепочку общих знакомых, в среднем состоящую из шести человек. Милгрэм опирался на данные эксперимента в двух американских городах. Жителям одного города было роздано 300 конвертов, которые надо было передать определённому человеку, который жил в другом городе. Конверты можно было передавать только через своих знакомых и родственников. До бостонского адресата дошло 60 конвертов. Произведя подсчеты, Милгрэм определил, что в среднем каждый конверт прошёл через пять человек. Так и родилась теория «шести рукопожатий».

Цель работы: изучение и проверка «теории шести рукопожатий».

Методы, используемые в работе: изучены начальные понятия теории матриц,  теории графов, проведен практический эксперимент в 4 этапа. Применялись информационные технологии – построения графов и матриц произведены в программах Paint, Microsoft Equation 3.0.

Выводы. Выполненная опытная проверка  показала, что «теория шести рукопожатий» подтверждена не во всех случаях, все зависит от количества участников исследования, степени понимания ими предложенного задания, условий проведения эксперимента.

Использование графов и представляющих их матриц инцидентности, валентности, смежности и лапласианов, разложение лапласианов на элементарные составляющие оказалось очень полезным при анализе результатов опытной проверки.

 

План исследования

Вопрос исследования:  подтвердится ли теория и возможно ли представить теорию в виде графов и их матриц.

В работе рассматривается «теория шести рукопожатий», ее представление при помощи графов и их матриц.

Гипотеза: каждый человек опосредованно знаком с любым другим жителем планеты через цепочку общих знакомых, в среднем состоящую из шести человек.

В ходе исследования были поставлены и решены следующие задачи:

1.                     Изучение литературы по теме «теория шести рукопожатий», поиск материала в сети Интернет (смотреть раздел Библиография).

2.                     Проведение экспериментальной работы путем раздачи конвертов с письмами на 4 экспериментальных площадках («Шаг в будущее» в г. Москва, в МБОУ гимназии №64 на «Неделе улыбки», также в МБОУ гимназии №64, в  школьном летнем лагере).

3.                     Изучение литературы по теме «графы и их матрицы» (смотреть раздел Библиография).

4.                     Формализация конкретной задачи:

– составление графов по итогам эксперимента;

  – составление матриц.

5.       Оформление графов и матриц в программах Paint, Microsoft Equation 3.0.

6.                     Анализ полученных результатов (смотреть раздел Заключение).

 

                                                  

В 2011 году я просмотрела художественный фильм «Ёлки», где было отмечено, что каждый человек знаком с любым жителем Земли через 6 рукопожатий. Мне стало интересно, так ли это на самом деле. И я решила провести исследование данного вопроса и подтвердить или опровергнуть теорию шести рукопожатий.

В ходе работы (после изучения статей из Интернета, анализа прочитанной литературы) я  провела эксперимент.

Экспериментальная часть состояла из нескольких этапов: составление текста письма, раздача писем, анализ вернувшегося материала, составление графов, построение матриц, выполнение действий с матрицами.

Раздача писем происходила в 4-ех местах,  разному количеству людей. Хочу заметить, что текст письма был тоже различен.

Первая раздача включала 500 респондентов  на Всероссийской конференции «Шаг в будущее» в г. Москва. Конверты раздавались незнакомым людям, всем одновременно. Возраст исследуемых от 7 до 70 лет. В ходе этого эксперимента,   ко  мне вернулось 4 конверта. Первый и второй конверты вернулись ко мне, пройдя через четыре рукопожатия, а во вторых двух не было смысла, так как они составили лишь одно рукопожатие. Данный эксперимент хоть и имел большой охват, однако по результативности я ожидала большего. Считаю, что ожидаемый результат не получился, так как испытуемые находились непродолжительное время в одном месте. (Приложение1. Графы 1,2).

Вторая раздача проведена в МБОУ гимназии №64 на «Неделе улыбки».  Участниками эксперимента стали учащиеся 6-ых классов в количестве 50 человек.  Каждому участнику эксперимента был предложен конверт с письмом (Приложение 4). В течение дня ребятам было предложено передавать конверт друг другу, отмечая при этом на конверте свое имя. Конверты я раздавала выборочно. Помимо текста письма, я давала устные консультации, как поступать с конвертами. В результате ко  мне вернулось 3 конверта. Каждый из конвертов произвел определенный путь и побывал у разного количества людей. Первый конверт прошел через 10 рукопожатий, второй - через 5, а в третьем, к сожалению, не было смысла, потому что он состоял всего лишь из одного рукопожатия. (Приложение 2. Графы 3,4).

Третья раздача  проводилась так же в МБОУ гимназии №64. На этот раз ко мне вернулось 11 конвертов из 108. Я думаю, что на такой результат повлиял текст письма, потому что, в письме были анекдоты о школьной жизни, и ребятам было интереснее ими обмениваться. (Приложение 4). Первый конверт прошел через семь рукопожатий, второй - через четыре, третий - через восемь. Четвертый конверт проделал путь, состоящий из трех рукопожатий. Пятый – из пяти, шестой – из восьми, седьмой – из шести, восьмой конверт – из пяти рукопожатий. А девятый, десятый и одиннадцатый конверты, прошли лишь  через одно рукопожатие. (Приложение 3. Граф 5).

 Четвертую раздачу я провела  в  школьном летнем лагере. Количество участников эксперимента – 100 человек (учащиеся младшего звена,  среднего звена, преподаватели). В течение дня  я получила 16 конвертов, раздав лишь 100. Скорее всего, на такой результат повлияло большее количество свободного времени, ведь у ребят начались каникулы. Возраст испытуемых на этот раз был 7-50 лет.   Первый конверт вернулся ко мне через пять рукопожатий, второй – через семь, третий – через тринадцать, пятый через  двенадцать, шестой и седьмой – через восемь, восьмой – семнадцать, девятый – семь, десятый вернулся ко мне через три рукопожатия, одиннадцатый – через семь рукопожатий, двенадцатый, тринадцатый – через три рукопожатия, четырнадцатый – через пять рукопожатий, а пятнадцатый и шестнадцатый конверты, через одно  рукопожатие. (Приложение 3. Граф 6).

Вернувшиеся конверты я представила при помощи графов и их матриц, вот что у меня получилось.

 

Посмотреть презентацию с результатами исследования -> HanenyaPrezentatsiya

Использование матричных представлений и особенно разложений лапласиана на элементарные составляющие принесло мне большую пользу при анализе результатов, так как, это разложение - хороший самоконтроль, при его помощи я нашла ошибки в матрице, и исправила их. Это разложение лапласианов на элементарные составляющие оказалось очень полезным и при анализе результатов опытной проверки. По элементарным составляющим, видно, что степени вершин не всегда один, а может быть и два. Это я выделила только в первом случае, но во втором, такое разложение тоже просматривается.

 

Заключение

Как оказалось, выполненная экспериментальная проверка  показала, что «теория шести рукопожатий» подтверждена не во всех случаях, все зависит от количества участников исследования, степени понимания ими предложенного задания, условий проведения эксперимента, и количества свободного времени у испытуемых.

Первая раздача хоть и имела большой охват, но по результативности оказалась самой маленькой, ведь в среднем у меня получилось 4 рукопожатия. А что касается второй раздачи, она была не самой оптимальной, так как первый конверт прошел через десять рукопожатий, но в среднем у меня получилось 7,5 рукопожатия. При третьей раздаче  ко мне вернулось 11 конвертов из 108. Я думаю, что на такой результат повлиял текст письма, потому что, в письме были анекдоты о школьной жизни, и ребятам было интереснее ими обмениваться. Четвертый этап был проведен  в  школьном летнем лагере. В течение дня  я получила 16 конвертов, раздав лишь 100. Скорее всего, на такой результат повлияло большее количество свободного времени. Как вы заметили, к пятому и шестому графам, матрицы приведены не были, потому что вернулось большое количество раздаточного материала, и графы получились громоздкими.

Тем ни менее, это работа - хорошая практика, во время проделанной работы я ознакомилась с компьютерной программой Microsoft Equation 3.0.  (программа для построения матриц), познакомилась с понятиями матрицы, графы, проверила правильность матриц при помощи их разложения (разложение матриц помогло мне найти ошибки и их исправить). В дальнейшем, я бы хотела усовершенствовать свою работу: сделать намного больше раздач конвертов, возможно, построить матрицы к пятому, и шестому графам.

Использование графов и представляющих их матриц инцидентности, валентности, смежности и лапласианов, разложение лапласианов на элементарные составляющие оказалось очень полезным при анализе результатов опытной проверки.

 

Библиография

 

1. Bonato А. A course on the Web graph. (Bonato Э. Курс по Web-графике [Текст]: Провиденс, Р.Я.: Американское Математическое Общество [новая Шотландия, Канада)]: Атлантическая Ассоциация по Исследованиям в области Математических наук,  2008.

2. Папи Ф., Папи Ж. Дети и графы. Обучение детей шестилетнего возраста математическим понятиям [Текст]: Брюссель-Монреаль-Париж, 1968.-190с. Пер. с франц. М.: Педагогика, 1974.

3. Матрица инцидентности [Электронный ресурс]: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%F2%F0%E8%F6%E0_%E8%ED%F6%E8%E4%E5%ED%F2%ED%EE%F1%F2%E8

4. Матрица смежности [Электронный ресурс]: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%F2%F0%E8%F6%E0_%F1%EC%E5%E6%ED%EE%F1%F2%E8

5. Теория  шести рукопожатий: еще одно подтверждение [Электронный ресурс]: http://habrahabr.ru/post/132558/ 

6. Теория шести рукопожатий [Электронный ресурс]:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%88%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8_%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%B6%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B9